Dots and boxes: punti e linee

Si gioca unendo a turno due punti adiacenti di una griglia di puntini. Ogni mossa è un segmento orizzontale o verticale, mai in diagonale. La linea che completa il quarto lato chiude il quadratino: la casella prende il colore e l'iniziale di chi l'ha tracciata. Chi chiude ha diritto a un turno extra, cioè gioca di nuovo subito. Una sola linea può chiudere due quadratini insieme.

Sullo schermo basta toccare o cliccare accanto alla linea scelta; il centro di una casella non seleziona niente. Chiudere un quadratino non è mai obbligatorio: si può tracciare altrove, ed è così che si rifiutano delle caselle. Il punteggio è il numero di quadratini chiusi, uno per casella, dovunque si trovino.

Quando una persona ha più della metà delle caselle, il gioco segnala che la partita è decisa: era già il criterio di vittoria del matematico Édouard Lucas, nel 1883. Si continua comunque fino all'ultimo quadratino. Sulla griglia iniziale le caselle sono 25, un numero dispari, quindi il pareggio è impossibile e chi ne chiude di più vince sempre con almeno una casella di scarto.

Tra le «Regole e aiuto» la prima opzione, «Chi chiude una casella traccia un'altra linea», è attiva all'inizio. Senza la spunta il turno passa dopo ogni linea, anche dopo una casella chiusa. Il giornalino dell'Università di Pisa, citato più sotto, chiama questa regola «particolarmente importante»: senza di essa la strategia di gioco sarebbe completamente diversa.

Il nome italiano con una fonte è «punti e linee». Lo riporta il giornalino degli OpenDays del Dipartimento di Matematica dell'Università di Pisa, nel numero 6 del 2018. L'articolo di Domenico Mergoni apre così: «Dots and boxes (conosciuto in Italia come Punti e linee) è un gioco per due giocatori».

Alla lettera il nome inglese vuol dire «puntini e scatole»: le scatole sono i quadratini da conquistare. Chi cerca il gioco dei quadratini, punti e quadrati o puntini e quadratini trova lo stesso gioco. Sono però descrizioni, non nomi registrati in un dizionario.

È un gioco di carta e penna. Secondo lo stesso giornalino servono due persone, due penne e un foglio, meglio se a quadretti. Sul foglio a quadretti gli incroci delle righe fanno già da puntini, e basta ripassare i lati dei quadretti.

Due nomi vicini indicano altri giochi. Il Vocabolario Treccani e il Nuovo De Mauro chiamano filetto un gioco da tavolo con nove pedine a testa. Il suo tavoliere porta tre quadrati concentrici, e Treccani lo dice anche tria o mulinello. Il tris si gioca invece con croci e cerchi, mentre unire puntini numerati per scoprire un disegno è tutt'altro passatempo.

Contro il computer le tue linee e le tue caselle sono blu, quelle del computer arancioni. Chi inizia si sceglie prima della partita: tu, il computer oppure a turno, da una partita all'altra. I livelli di difficoltà sono tre e sono una scelta del sito, non una regola del gioco.

• Facile: quando può chiudere una casella lo fa nel 75% dei casi. Altrimenti, una volta su due cerca una linea che non regala nulla, e se no ne traccia una qualsiasi. Per questo regala spesso caselle.
• Medio: chiude sempre tutte le caselle che può e non traccia mai un terzo lato finché resta una linea sicura. Quando ogni linea regala qualcosa, sceglie quella che regala meno caselle. Non rifiuta mai le caselle offerte.
• Difficile: gioca come il medio finché restano molte linee sicure. Quando ne restano 12 o meno, esplora in modo esatto il resto della partita, in circa mezzo secondo per mossa. Conta le catene e può regalare una o due caselle per cambiare chi dovrà aprire la prima catena di almeno 3 caselle.

Il livello difficile rifiuta anche le ultime caselle di una catena, o di un anello, quando ci guadagna. Per consegnare una coppia di caselle traccia la linea di mezzo, così la coppia non si può rifiutare. Su una griglia grande, all'inizio, segue invece regole empiriche: le posizioni possibili sono troppe da esplorare.

Nelle prove del sito su griglie di 3 × 3 e 4 × 4 caselle il livello difficile batte il medio nella maggior parte delle partite. Non è imbattibile, e non gioca in modo perfetto dalla prima mossa.

«Annulla» toglie la tua ultima linea insieme alla risposta del computer. «Suggerimento» disegna in blu tratteggiato la linea che sceglierebbe il livello difficile. Il bilancio conta le partite vinte, pari e perse per livello e griglia, la vittoria più larga e le ultime 10 partite. Resta nella memoria locale di questo browser e non viene inviato da nessuna parte.

In due ci si passa lo stesso dispositivo a ogni turno, che sia un telefono, un tablet o un portatile. Ogni persona può scrivere un nome di al massimo 14 caratteri, che non viene salvato e non entra nel link.

Nelle caselle compare l'iniziale di chi le chiude: una lettera, due se i nomi cominciano con la stessa, 1 e 2 se coincidono anche le prime due. Chi inizia si sceglie anche qui: la persona 1, la persona 2 oppure a turno.

Per annullare una mossa, «Annulla» toglie qui soltanto l'ultima linea tracciata; a partita finita non funziona più. Le partite in due non entrano nel bilancio, che raccoglie solo le sfide con la macchina.

A fine partita compaiono chi vince, il risultato e il maggior numero di caselle prese da ciascuna parte in un solo turno. «Copia il risultato» prepara una riga di testo con il link. L'indirizzo porta modalità, livello, griglia, chi inizia e opzioni delle regole: chi lo apre trova la stessa partita impostata, senza nomi né mosse.

Il gioco si apre su 5 × 5 caselle, cioè 6 × 6 puntini e 60 linee. Le dimensioni della griglia si contano in caselle e si scelgono a parte in larghezza e in altezza, da 2 a 8: in tutto 49 tabelloni.

Su carta si contano di solito i puntini. Per le prime partite il giornalino pisano propone un rettangolo di 4 × 4 punti, cioè 3 × 3 caselle e 24 linee.

Il pareggio è possibile solo con un numero pari di caselle. Daniel Allcock, dell'Università del Texas ad Austin, indica 5 × 5 caselle come griglia tipica. Osserva anche che le griglie dispari per dispari rendono impossibile il pareggio.

L'opzione «Bordo esterno già tracciato» disegna il bordo del tabellone prima della prima linea. È una variante: le linee del perimetro non si giocano più e la partita comincia dall'interno.

Con la tastiera le frecce passano da una linea all'altra, e Invio o la barra spaziatrice la tracciano. Per chi usa un lettore di schermo ogni linea è annunciata con i suoi due puntini. A1 è il puntino in alto a sinistra, con lettere per le colonne e numeri per le righe.

Tracciare il terzo lato di un quadratino lo regala, perché chi gioca dopo traccia il quarto e lo chiude. Mergoni descrive così le prime partite di chi comincia: connessioni più o meno casuali, badando solo a non segnare il terzo lato.

Quando le linee sicure finiscono restano le catene: file di caselle collegate, in cui chi ne apre una permette di chiuderle tutte. Una catena corta ha una o due caselle, una catena lunga almeno 3. Un anello è una catena chiusa su sé stessa, di almeno 4 caselle.

La mossa decisiva consiste nel sacrificare gli ultimi due quadratini di una catena lunga, cioè rinunciarvi apposta. Si chiudono tutte le caselle tranne le ultime due. Poi si traccia la linea in fondo, che le lascia unite a chi gioca dopo; in un anello se ne lasciano quattro. Le due caselle si prendono con un solo tratto, il double-cross, e poi tocca aprire la catena successiva. Il giornalino pisano chiama double-cross l'intera tecnica.

Chi riesce a ripetere questa mossa a ogni catena ha il controllo della partita. Secondo l'articolo pisano, tra esperti vince proprio chi ha il controllo, perché costringe la parte avversaria ad aprire la prima catena lunga.

Tre finali, risolti con la stessa ricerca esatta del livello difficile, mostrano quanto valgono queste scelte.

• Due catene di tre caselle, e chi muove deve aprirne una. Chi riceve la prima ne prende una, lascia le ultime due e poi incassa tutta la seconda: finisce 4 a 2. Prendere subito tutte e tre porterebbe a 3 a 3.
• Una catena di tre e una casella isolata: chi muove regala prima la casella isolata e vince 3 a 1. Aprire prima la catena fa perdere.
• Un anello di quattro e una catena di tre: chi muove apre prima l'anello e perde solo 3 a 4. Aprire prima la catena fa perdere con uno scarto più ampio.

L'opzione «Segna le linee che regalano una casella» mostra in rosso tratteggiato ogni linea che darebbe a una casella il suo terzo lato, quindi ogni mossa che regala caselle.

La regola della catena lunga lega il risultato alla parità del numero di catene lunghe. Thomas Ferguson, dell'Università della California a Los Angeles, la enuncia per una griglia di m per n caselle. Se m e n sono entrambi pari, chi inizia vuole un numero dispari di catene lunghe; altrimenti ne vuole un numero pari. Gli anelli non contano.

Julian West, in un saggio per il Mathematical Sciences Research Institute, ne dà una forma equivalente: chi inizia vuole che puntini e catene lunghe, sommati, facciano un numero pari. Sul tabellone di partenza i puntini sono 36, quindi lì chi inizia punta a catene lunghe in numero pari.

È la regola che insegna il libro di Elwyn Berlekamp, The Dots-and-Boxes Game, del 2000. Al gioco è dedicato anche il capitolo 16 di Winning Ways (1982), scritto da Berlekamp con Conway e Guy.

Nel libro del ${f.books.berlekamp} un capitolo presenta lo stesso gioco come «Strings and Coins», monete e spaghi. Ogni casella è una moneta, ogni linea uno spago, e chi taglia l'ultimo spago di una moneta la intasca.

Nessuno con un nome preciso: Édouard Lucas, che lo descrisse per primo nel 1883, ne attribuisce l'invenzione agli studenti dell'École polytechnique.

Nel secondo tomo delle Récréations mathématiques Lucas lo chiama «le jeu de l'École Polytechnique». Racconta che gli allievi lo avevano inventato qualche anno prima e lo giocavano su carta quadrettata. Chi chiudeva un quadrato ci scriveva la propria iniziale e giocava ancora; vinceva chi arrivava per primo a più della metà dei quadrati.

Nel 1889 Lucas lo pubblicò come «La Pipopipette, nouveau jeu de combinaisons», una scatola con 36 pioli e 60 asticelle per 25 quadrati, dedicata ai suoi ex allievi. Il testo è ristampato nella Note III de L'Arithmétique amusante (1895). «Pipo» era il nome breve che gli studenti davano alla loro scuola.

Per la Pipopipette Lucas ammetteva due, tre o quattro partecipanti, e in quattro si formavano due squadre. Il giornalino di Pisa ricorda che è lo stesso matematico della torre di Hanoi. Come il sito controlla date e fonti è spiegato nella pagina sul metodo.

Il foglio da stampare porta 1, 2, 4 o 6 griglie della dimensione scelta, per giocare a penna lontano dallo schermo. Con la variante dei numeri attiva, ogni griglia riceve numeri nuovi.

La variante «Numeri nelle caselle» unisce il gioco a un esercizio di calcolo. All'avvio ogni casella riceve un numero, il risultato di un suo lancio di due dadi, così i risultati frequenti riempiono più caselle di quelli rari. Prima di ogni linea si lanciano due dadi e si sommano o si moltiplicano, secondo l'opzione scelta.

Si può tracciare solo un lato di una casella aperta che mostra quel risultato; un lato in comune vale se una delle due caselle lo mostra. Se nessuno di questi lati è libero, il turno passa con «Passa il turno». Dopo una casella chiusa si lancia di nuovo e si gioca ancora, e ogni casella conta uno, qualunque sia il suo numero.

Con la somma i risultati possibili sono 11, da 2 a 12. Il più frequente è il 7, con 6 lanci su 36, cioè il 16,7%. Con il prodotto i risultati sono 18, da 1 a 36. I più frequenti sono 6 e 12, con 4 lanci su 36 ciascuno; i più rari, 1, 9, 16, 25 e 36, escono con un solo lancio.

Versioni con i numeri circolano come esercizi di calcolo per la scuola primaria, con regole diverse: alcune usano la sottrazione, altre dadi a dieci facce. Quella del gioco è la versione del sito. I dadi, come il computer, si muovono solo dopo l'inizio della partita, con il generatore casuale crittografico del browser.

Anche nel gioco dei dadi per lo scambio di regali si lancia un dado sul telefono, ma lì il risultato decide chi prende un regalo dal mucchio.