Puntos y cajas

El tablero es una cuadrícula de puntos, y cada jugada es una sola línea horizontal o vertical entre dos puntos contiguos, nunca en diagonal. Quien traza el cuarto lado de un cuadro lo cierra: el cuadro toma su color y su inicial, y esa persona gana un turno extra. Una misma línea puede cerrar dos cuadros a la vez. La partida acaba cuando todos están cerrados.

Para jugar, toca o haz clic junto a la línea que quieres trazar; el centro de una casilla no elige ninguna. El tablero de partida tiene 5 × 5 casillas, es decir, 36 puntos y 60 líneas posibles. Con el teclado, las flechas recorren las líneas, e Intro o la barra espaciadora trazan la elegida. Cada línea se anuncia por sus dos puntos: A1 es el de arriba a la izquierda, con letras para las columnas y números para las filas.

Cerrar un cuadro nunca es obligatorio: trazar en otro sitio es la forma de rechazarlo, y de ahí sale buena parte de la estrategia. Cuando un bando reúne más de la mitad de las casillas, el juego avisa de que la partida está decidida, pero se sigue hasta cerrar la última.

En «Reglas y ayuda» hay cuatro opciones, que quedan fijas durante la partida hasta pulsar «Partida nueva».

• «Cerrar una casilla da otra línea»: viene activada. Al desmarcarla, el turno pasa tras cada línea, aunque cierre un cuadro.
• «Borde exterior ya dibujado»: el marco exterior aparece trazado antes de la primera línea.
• «Números en las casillas»: la variante con dados, que da a cada casilla un número.
• «Marcar las líneas que regalan una casilla»: cada línea que daría a una casilla su tercer lado se ve en rojo discontinuo.

En pocas palabras, cada partida enfrenta a dos bandos sobre una cuadrícula. Por turnos, cada bando traza una línea entre dos puntos vecinos, en horizontal o en vertical. Quien completa los cuatro lados de una casilla se la apunta y traza otra línea en el acto, de modo que una buena racha puede encadenar muchas casillas seguidas. Nadie está obligado a cerrar una casilla, y dejarla abierta a tiempo forma parte del juego.

La partida termina cuando no queda ninguna casilla abierta, y gana quien tiene más. Aquí el rival puede ser el ordenador, en nivel fácil, normal o difícil, u otra persona con el mismo móvil. El tamaño va de 2 a 8 casillas por lado, y el de partida es de 5 × 5. Todo ocurre en el navegador, sin cuenta ni descargas.

En España se le llama así, el juego de los cuadritos, y en inglés, dots and boxes, que traducido da puntos y cajas. El modelo de utilidad ES 260652 U, de la Oficina Española de Patentes y Marcas (OEPM), da el nombre por sabido. Describe un juego «semejante al conocido juego de los cuadritos que se juega sobre papel cuadriculado».

En México se conoce como timbiriche. El Diccionario de la lengua española registra esa palabra con otros sentidos, como tendejón o piñuela, y el Diccionario de americanismos tampoco la recoge como nombre de un juego.

Para cada hueco del tablero, el diccionario académico ofrece casilla: «cada uno de los compartimentos en que quedan divididos los tableros de algunos juegos». En el habla corriente se dice también cuadro o cuadrito. Es un juego de lápiz y papel para dos, sin piezas, y en francés tuvo un nombre propio, la Pipopipette, como se ve en su historia.

Frente al ordenador, tus líneas salen en azul y las suyas, en naranja; tú juegas como primer bando. En «Quién empieza» se elige quién abre la partida: tú, el ordenador o cada uno por turnos, partida a partida. Los niveles son un diseño propio de este sitio.

• Nivel fácil: cuando puede cerrar una casilla, lo hace el 75 % de las veces. Si no hay nada que cerrar, la mitad de las veces (50 %) busca una línea que no regale nada, y si no, traza una cualquiera. Por eso regala casillas a menudo.
• Nivel normal: cierra siempre todas las casillas que puede y nunca traza un tercer lado mientras quede una línea segura. Cuando cualquier línea entrega algo, elige la que entrega menos. Nunca rechaza casillas.
• Nivel difícil: juega como el normal mientras quedan muchas líneas seguras. Con 12 o menos, calcula de forma exacta el resto de la partida, en torno a medio segundo por jugada. Al principio de una partida en un tablero grande se guía por reglas prácticas.

El nivel difícil cuenta las cadenas y puede ceder una o dos casillas para cambiar quién debe abrir la primera cadena larga. También rechaza las dos últimas casillas de una cadena, o las cuatro últimas de un ciclo, cuando eso le da ventaja. Y entrega las parejas de casillas por su línea central, para que no se puedan rechazar.

En las pruebas del sitio, hechas en tableros de 3 × 3 y 4 × 4, el nivel difícil gana al normal en la mayoría de las partidas. No es imbatible ni juega de forma perfecta desde la primera línea: su cálculo exacto empieza cerca del final.

«Pista» dibuja en azul discontinuo la línea que elegiría el nivel difícil. «Deshacer» retira tu última línea y la respuesta del ordenador, salvo cuando la partida ya ha terminado.

El historial guarda las partidas ganadas, empatadas y perdidas de cada nivel y tamaño, tu victoria más amplia y las 10 últimas partidas. Queda en el almacenamiento local de este navegador, con la clave «dots-and-boxes-results», y nunca se envía a ningún sitio. «Borrar mi historial» lo borra.

En el modo de dos personas, el móvil pasa de mano en mano y cada una traza su línea en su turno. Cada participante puede escribir un nombre de hasta 14 caracteres, que nunca se guarda ni viaja en el enlace. Las casillas muestran la inicial de cada nombre, dos letras si las iniciales coinciden y un 1 y un 2 si aun así son iguales.

Quién empieza se elige igual: participante 1, participante 2 o por turnos, partida a partida. «Deshacer» retira aquí solo la última línea. Estas partidas no entran en el historial, que solo cuenta las jugadas frente a la máquina.

Al acabar, el juego muestra quién gana, el marcador y el máximo de casillas que cada bando cerró en un solo turno. «Copiar el resultado» copia una línea de texto con el enlace, y «Jugar otra vez» abre otra partida. El enlace lleva el modo, el nivel, el tablero, quién empieza y las opciones de reglas, así que abre la misma partida preparada. Nunca lleva nombres ni jugadas.

El tablero de partida mide 5 × 5 casillas, que son 6 × 6 puntos y 60 líneas. El ancho y el alto se eligen por separado, de 2 a 8 casillas, con 49 combinaciones posibles. Los tamaños se dan en casillas; en papel se suelen contar los puntos, que son uno más por lado.

Daniel Allcock, profesor en la Universidad de Texas en Austin, toma el de 5 × 5 casillas como tablero habitual y señala que los tableros impares por impares hacen imposible el empate. El de 3 × 3 es más corto, con 16 puntos y 24 líneas, y el mayor, de 8 × 8, llega a 144 líneas.

La variante del borde dibujado empieza con el marco exterior ya trazado, así que cada casilla del borde nace con un lado hecho. Es una costumbre de algunos jugadores en papel; la versión habitual empieza con el tablero vacío.

Se gana con el control de la partida: quien consigue que el otro bando abra cada cadena larga se lleva la mayor parte de sus cuadros. Antes llega una fase de tanteo, en la que nadie quiere regalar nada.

Una línea que deja un cuadro con tres lados se lo regala al rival, que lo cierra y vuelve a trazar. Mientras quedan líneas seguras, que no dan a nadie un tercer lado, cada bando puede jugar sin regalar nada. La opción de marcar esas líneas en rojo discontinuo las hace visibles.

Cuando se acaban las líneas seguras, el tablero queda dividido en cadenas y ciclos. Una cadena es una fila de casillas unidas que se cierran una tras otra en cuanto alguien traza dentro. Según Julian West, del Mathematical Sciences Research Institute, una cadena de 3 casillas o más es una cadena larga, porque sus dos últimas siempre se pueden rechazar. Las de una o dos son cadenas cortas. Un ciclo es una cadena cerrada sobre sí misma, de al menos 4 casillas.

Abrir una cadena es trazar la primera línea dentro de ella. Quien la recibe puede tomar todas sus casillas menos las dos últimas y dejarlas unidas por una sola línea. El otro bando cierra entonces las dos con un único trazo, el doble cruce, y como ha cerrado, debe trazar otra vez y abrir la cadena siguiente. En un ciclo se dejan las cuatro últimas. West llama control a mantener esa ventaja, y Allcock llama controlador a quien la tiene.

Saber de antemano quién tendrá el control es la regla de las cadenas largas, la que enseña el libro de Elwyn Berlekamp. Thomas S. Ferguson, de la Universidad de California en Los Ángeles, la formula para un tablero de m × n casillas. Si m y n son pares, a quien empieza le interesa un número impar de cadenas largas; si no, un número par. Los ciclos no cuentan.

West la expresa de otro modo: quien empieza quiere que la suma de puntos y cadenas largas sea par. En el tablero de 5 × 5, con 36 puntos, eso equivale a un número par de cadenas largas. Para cambiar esa cuenta, a veces se ceden una o dos casillas antes de tiempo.

Tres finales pequeños, resueltos con la búsqueda del nivel difícil, muestran la idea en la práctica.

• Dos cadenas de 3 casillas, y quien mueve debe abrir una. El otro bando toma una casilla, rechaza las dos últimas y después se lleva la segunda cadena entera: gana 4 a 2. Tomar las tres de golpe dejaría un 3 a 3.
• Una cadena de 3 y una casilla suelta: quien mueve entrega primero la suelta y gana 3 a 1. Abrir antes la cadena hace perder.
• Un ciclo de 4 y una cadena de 3: abrir primero el ciclo solo pierde por 3 a 4, y abrir antes la cadena pierde por más.

Barker y Korf razonan además con cuerdas y monedas: cada casilla es una moneda, cada línea una cuerda, y quien corta la última cuerda de una moneda se la queda.

Con la opción de los números, el juego reparte a cada casilla, al empezar, el resultado de su propia tirada de dos dados. Así, los resultados frecuentes ocupan más casillas que los raros. Antes de cada línea se tiran dos dados, que se suman o se multiplican según la opción, y el ordenador tira por su cuenta.

Solo se puede trazar un lado de una casilla abierta que muestre ese resultado; un lado compartido vale si cualquiera de sus dos casillas lo muestra. Si no queda ninguno libre, se pulsa «Pasar el turno». Cada cierre da otra tirada y otra línea, y cada casilla vale un punto, tenga el número que tenga.

Al sumar salen 11 resultados, del 2 al 12, y el más frecuente es el 7: 6 tiradas de 36, un 16,7 %. Al multiplicar hay 18 resultados, del 1 al 36, y la partida se convierte en un repaso de las tablas de multiplicar. El 6 y el 12 son los más frecuentes, con 4 tiradas de 36 cada uno, y 1, 9, 16, 25 y 36 salen con una sola.

Es una versión propia de este sitio, al estilo de las fichas escolares que usan el juego para practicar el cálculo. Esas fichas cambian de un aula a otra: algunas restan y otras usan dados de diez caras.

Nada se sortea antes de tocar el tablero: el ordenador y los dados actúan solo cuando empieza la partida, con el generador aleatorio criptográfico del navegador. Otro juego del sitio que deja la suerte a los dados es el juego de regalos con dados, pensado para fiestas.

Édouard Lucas describió el juego por primera vez en 1883, en el tomo II de Récréations mathématiques, como «le jeu de l'École Polytechnique». Según Lucas, lo habían inventado unos años antes los estudiantes de la École polytechnique. Se jugaba sobre papel cuadriculado, cada cuadrado cerrado se marcaba con una inicial y quien lo cerraba seguía jugando.

En aquella descripción ganaba quien reunía primero más de la mitad de los cuadrados. Lucas no se presenta como inventor: atribuye el juego a sus alumnos.

En mayo de 1889 lo publicó como «La Pipopipette, nouveau jeu de combinaisons», dedicado a sus antiguos alumnos. Era un juego en caja con 36 clavijas y 60 varillas para 25 cuadrados. Pipo era el apodo con el que los estudiantes llamaban a la Polytechnique. El texto se reeditó en L'Arithmétique amusante, de 1895, como nota III.

El estudio matemático moderno llegó un siglo después. Elwyn Berlekamp, coautor de Winning Ways, cuyo capítulo 16 trata el juego, le dedicó en 2000 un libro entero: The Dots-and-Boxes Game. Su subtítulo, Sophisticated Child's Play, lo define como un juego de niños sofisticado.

«Imprimir una hoja en blanco» prepara una hoja con 1, 2, 4 o 6 cuadrículas del tamaño elegido, lista para jugar con lápiz o bolígrafo. Con la variante de dados activada, cada cuadrícula lleva números nuevos en sus casillas.

En papel, cada bando usa un color o escribe su inicial en los cuadros que cierra, como en la descripción de Lucas. Para dibujar el tablero a mano sobre papel cuadriculado se cuentan puntos. Un tablero de 5 × 5 casillas pide 6 × 6 puntos, y uno de 3 × 3 casillas, 4 × 4 puntos.