Pipopipette en ligne : contre l'ordinateur ou à deux

À tour de rôle, chaque camp trace un trait entre deux points voisins, à l'horizontale ou à la verticale, jamais en diagonale. Une case a quatre côtés, et le trait qui pose le dernier la ferme. Elle prend alors la couleur et l'initiale de la personne qui l'a fermée, et cette personne joue encore. Un même trait peut fermer deux cases d'un coup.

À l'écran, il suffit de toucher ou de cliquer près du trait voulu ; le centre d'une case ne sélectionne rien. Contre l'ordinateur, vos cases sont bleues et marquées « V », les siennes orange et marquées « O ». Au clavier, les flèches passent d'un trait à l'autre, et Entrée ou Espace trace celui qui est choisi. Un lecteur d'écran annonce chaque trait par ses deux points : A1 désigne le point en haut à gauche, les lettres comptent les colonnes et les chiffres les rangées.

Fermer une case oblige à tracer un autre trait, mais rien n'oblige à fermer une case disponible. Barker et Korf, de l'Université de Californie à Los Angeles, posent ainsi la règle dans leur article de 2012. Tracer ailleurs revient à laisser une case à l'adversaire, et toute la stratégie du jeu repose sur ce choix.

Dès qu'un camp détient plus de la moitié des cases, le jeu annonce que la partie est décidée, puis la laisse aller jusqu'à la dernière case. La fin affiche le vainqueur, le score et le plus grand nombre de cases prises en un seul tour par chaque camp. « Copier le résultat » copie une ligne de texte avec le lien, et « Rejouer » relance aussitôt une partie.

Contre l'ordinateur, vos traits sont bleus et les siens orange. Le réglage « Qui commence » donne le premier trait à vous, à l'ordinateur, ou alterne d'une partie à l'autre. Chaque niveau de difficulté est une conception propre au site.

• « Facile » : quand une case est à prendre, l'ordinateur la ferme dans 75 % des cas. Sinon, dans 50 % des cas, il cherche un trait qui n'offre rien ; le reste du temps, il trace n'importe où. Il laisse donc souvent des cases.
• « Moyen » : il ferme chaque case possible et ne donne rien tant qu'il reste un trait sans danger. Quand tous les traits offrent quelque chose, il cède le moins de cases possible. Il ne refuse jamais une case.
• « Difficile » : il joue comme le niveau moyen tant que les traits sans danger abondent. Lorsqu'il n'en reste que 12 ou moins, il calcule exactement la suite, en une demi-seconde environ par coup. Il compte les chaînes, peut céder une ou deux cases pour changer qui ouvrira la première chaîne longue, et refuse des cases quand cela rapporte. Sur les grandes grilles, en début de partie, il suit des règles empiriques.

Lors des essais du site sur 3 × 3 et 4 × 4 cases, le niveau difficile a battu le niveau moyen dans la plupart des parties. Il n'est pas imbattable pour autant : seule la fin de partie est calculée exactement, et le début repose sur des estimations.

Le bouton « Indice » dessine en pointillés le trait que choisirait le niveau difficile. Le navigateur garde aussi votre bilan contre l'ordinateur : parties gagnées, nulles et perdues par niveau et par taille, votre plus large victoire et les 10 dernières parties. Ce bilan reste dans le stockage local, sans envoi à un serveur, et un bouton l'efface.

Sur cette page, la pipopipette oppose deux camps sur une grille de points, de 2 à 8 cases en largeur comme en hauteur. Chaque coup relie deux points voisins par un trait horizontal ou vertical. Le trait qui ferme une case la donne au camp qui l'a tracé, et celui-ci rejoue, sans jamais être tenu de prendre une case offerte. Le score compte les cases, et la partie s'arrête quand toutes sont fermées. Face à l'ordinateur, le niveau facile laisse souvent des cases et le niveau moyen ne cède rien tant qu'il le peut. Le niveau difficile, lui, calcule les fins de partie et sait refuser des cases. À deux, les camps se passent le téléphone.

Le mode « À deux sur un téléphone » se joue sur le même téléphone, que l'on se passe après chaque tour, ou sur un écran partagé. Chaque personne peut saisir un nom de 14 caractères au plus.

Les cases fermées portent l'initiale de chaque nom. Quand les deux noms commencent par la même lettre, le jeu affiche leurs deux premières lettres, puis « 1 » et « 2 » si elles coïncident encore. Sans nom saisi, les camps s'appellent « Personne 1 » et « Personne 2 ».

Les noms ne sont jamais enregistrés et n'entrent jamais dans le lien de la page. Ces parties ne comptent pas non plus dans le bilan, réservé aux parties contre la machine.

Le bouton « Annuler » retire le dernier trait tracé. Face à la machine, il reprend votre dernier trait et sa réponse. Une fois la partie terminée, il ne sert plus.

L'adresse de la page garde le mode, le niveau, la grille, qui commence et les variantes. Un lien partagé rouvre donc la même configuration, sans les noms ni les traits joués.

La grille de départ mesure 5 × 5 cases, soit 6 points par côté, 36 points en tout et 60 traits. C'est le plateau de 25 carrés que Lucas proposait en 1889.

Les 49 tailles proposées combinent de 2 à 8 cases en largeur et en hauteur, réglées séparément. Les tailles se comptent ici en cases ; sur papier, on compte plutôt les points, toujours un de plus par côté.

La grille de 3 × 3 cases, avec 16 points, donne des parties courtes où les chaînes se repèrent vite. Sur papier quadrillé, les croisements des lignes servent de points, et une feuille à carreaux accueille plusieurs grilles. Le Dictionnaire de l'Académie française emploie les deux expressions, papier quadrillé et papier à carreaux.

Le troisième côté d'une case est celui qui l'offre, car il laisse à l'adversaire le quatrième, donc la case. Un trait qui ne donne de troisième côté à aucune case est un coup sûr.

En début de partie, les traits sans danger abondent. Ils s'épuisent peu à peu, jusqu'au moment où chaque trait offre au moins une case. La grille se découpe alors en chaînes et boucles, et la partie se joue sur l'ordre dans lequel on les ouvre.

L'option « Signaler les traits qui offrent une case » affiche en pointillés rouges chaque trait qui donnerait à une case son troisième côté. Le niveau moyen de l'ordinateur suit ce principe : il ne pose jamais de troisième côté tant qu'un coup sûr existe.

Une chaîne est une file de cases voisines qui ont déjà deux côtés tracés : ouvrir l'une d'elles livre toute la file à l'adversaire. Une chaîne courte compte une ou deux cases, une chaîne longue au moins 3. Une boucle se referme sur elle-même et compte au moins 4 cases.

Selon Julian West, du Mathematical Sciences Research Institute, une chaîne de 3 cases ou plus est longue parce que ses 2 dernières cases peuvent toujours être refusées. Refuser consiste à prendre toute la chaîne sauf ces deux cases, puis à tracer le trait du bout. Un seul trait suffit alors à fermer les deux cases restantes.

L'adversaire les ferme d'un coup, puis doit ouvrir la chaîne suivante. Ce sacrifice garde la main : West dit de la personne qui le répète qu'elle a le contrôle, et Daniel Allcock, de l'Université du Texas à Austin, parle du contrôleur. Dans une boucle, refuser coûte 4 cases au lieu de 2.

Soit deux chaînes de 3 cases, 6 cases en tout, et une personne obligée d'en ouvrir une. L'adversaire prend une case, refuse les deux dernières et reçoit ensuite la seconde chaîne entière, soit 4 cases contre 2. Tout prendre d'un coup aurait donné 3 à 3.

Avec une chaîne de 3 cases et une case isolée, offrir d'abord la case isolée mène à 3 contre 1, car l'adversaire doit ensuite ouvrir la chaîne. Ouvrir la chaîne en premier fait perdre. Une paire de cases offerte par son trait du milieu ne peut pas être refusée, et le niveau difficile s'en sert. Ces fins de partie sortent de sa recherche exacte.

Thomas Ferguson, de l'Université de Californie à Los Angeles, énonce la règle des chaînes longues pour une grille de m × n cases. Si m et n sont tous deux pairs, le camp qui commence cherche un nombre impair de chaînes longues ; sinon, il en cherche un nombre pair. Les boucles n'entrent pas dans ce compte.

West en donne une forme équivalente : le camp qui commence veut que la somme des points et des chaînes longues soit paire. Sur la grille de départ, qui compte 36 points, ce camp vise donc un nombre pair de chaînes longues.

C'est la règle qu'enseigne le livre d'Elwyn Berlekamp, The Dots-and-Boxes Game, paru en 2000. La parité fixe qui devra ouvrir la première chaîne longue, et le milieu de partie se joue sur le nombre de chaînes.

En 2012, Barker et Korf ont résolu deux grilles par ordinateur. Sur 3 × 3 cases, le camp qui joue en second gagne de 3 cases si chacun joue au mieux. Sur 4 × 5, la plus grande grille résolue, le meilleur jeu mène à l'égalité, après 10 jours de calcul sur un seul ordinateur. La grille de 5 × 5 n'est pas connue comme résolue.

Il vient de « Pipo », le surnom que les élèves donnaient à l'École polytechnique, et c'est Édouard Lucas qui l'a donné au jeu en 1889.

Ce mathématicien du XIXe siècle avait décrit le jeu dès 1883, dans le tome II de ses Récréations mathématiques, sous le titre « le jeu de l'École Polytechnique ». Des élèves de l'École l'avaient inventé quelques années plus tôt. On y jouait sur papier quadrillé, une case fermée recevait une initiale, et qui la fermait jouait encore. La victoire revenait au premier camp à dépasser la moitié des carrés.

Le 5 mai 1889, Lucas publie « La Pipopipette, nouveau jeu de combinaisons », un jeu en boîte de 36 points et 60 barres, soit 25 carrés. Il le dédie à ses anciens élèves, et le texte reparaît en 1895 dans L'Arithmétique amusante, note III. Lucas y admet de deux à quatre personnes, en deux équipes quand elles sont quatre.

Lucas attribue l'invention aux élèves de Polytechnique. La fiche de l'IREM de La Réunion écrit pourtant qu'il « a créé » le jeu, ce que ses propres textes ne disent pas.

D'après la notice Publimath consacrée à un chapitre de Lisa Rougetet, le jeu s'appelle aussi le jeu des petits carrés. Le mot pipopipette, lui, n'a pas d'entrée dans le Dictionnaire de l'Académie française. Il désigne un jeu papier-crayon, qui ne demande qu'une feuille et deux couleurs.

Trois réglages du panneau « Règles et aide » modifient la règle. Ils restent bloqués pendant une partie, et « Nouvelle partie » les libère.

• « Fermer une case donne un trait de plus » est actif par défaut ; désactivé, le tour passe après chaque trait, même quand celui-ci ferme une case.
• « Bord extérieur déjà tracé » trace le cadre de la grille avant le premier trait.
• « Nombres dans les cases » ajoute deux dés au jeu, avec une addition ou une multiplication.

Cette variante des dés est propre au site, et les fiches de classe qui mêlent calcul et pipopipette diffèrent : certaines soustraient, d'autres prennent des dés allant jusqu'à dix. Au départ, chaque case reçoit un nombre, le résultat d'un lancer de deux dés tiré pour elle. Les résultats fréquents occupent donc plus de cases que les rares.

Avant chaque trait, on lance deux dés, puis on additionne ou on multiplie. Seul un côté libre bordant une case qui porte ce résultat peut être tracé, et un côté partagé compte si l'une des deux cases le porte. Sans côté libre, le tour passe. Une case fermée donne droit à un nouveau lancer, et chaque case fermée vaut la même chose au score, quel que soit son nombre.

En additionnant, les 11 résultats vont de 2 à 12, et le 7 sort le plus souvent, 6 fois sur 36, soit 16,7 %. En multipliant, les 18 résultats vont de 1 à 36. Les 6 et 12 sortent chacun 4 fois sur 36, et 1, 9, 16, 25 et 36 une seule fois.

Les dés, comme l'ordinateur, n'agissent qu'une fois la partie commencée. Ils utilisent le générateur aléatoire cryptographique du navigateur, comme le jeu de dés pour échange de cadeaux.

La grille à imprimer place 1, 2, 4 ou 6 grilles de la taille choisie sur une feuille. Quand la variante des dés est active, chaque grille reçoit ses propres nombres. Sur papier, deux crayons de couleur suffisent, et chaque carré fermé reçoit l'initiale du camp qui l'a pris.