Kamertje verhuren spel

Het rooster bestaat uit puntjes in rijen en kolommen. Om de beurt verbind je twee buurpuntjes met een lijntje, recht naar opzij of naar beneden en nooit schuin. Elk lijntje is een muurtje. Wie het laatste muurtje rond een vakje zet, sluit dat kamertje af: het krijgt je kleur en je letter, en je bent direct weer aan zet. Als alle kamertjes bezet zijn, wint wie er de meeste heeft.

Op papier heet zo'n lijntje ook een streepje. In dit spel tik of klik je naast de plek waar het moet komen; het midden van een vakje kiest niets. Jij, of speler 1, tekent in het blauw, de computer of speler 2 in het oranje. Een gesloten kamertje geeft een extra beurt, en die beurt gebruik je ook: na elk gesloten vakje trek je nog een lijntje.

Scheidt je lijntje twee vakjes die elk al drie zijden hadden, dan sluit het ze tegelijk. Je krijgt dan beide kamertjes, en daarna nog steeds één lijntje extra. Een kamertje pakken is nooit verplicht: je mag ook ergens anders tekenen en een vakje laten liggen. Juist dat laten liggen speelt later een grote rol bij de ketens.

Heeft iemand de meerderheid van de vakjes, dan meldt het spel dat het potje beslist is. Je speelt toch door tot het laatste kamertje dicht is, zodat de eindstand compleet is.

Tegen de computer kies je een moeilijkheidsgraad uit drie niveaus. Die niveaus zijn een eigen ontwerp van deze site.

• Makkelijk: kan de computer een kamertje sluiten, dan doet hij dat in 75% van de gevallen. Anders zoekt hij in 50% van de gevallen een lijntje dat niets weggeeft, en trekt hij in de overige gevallen een willekeurig lijntje. Zo geeft hij vaak kamertjes cadeau.
• Gemiddeld: de computer sluit elk kamertje dat hij kan sluiten en trekt geen derde zijde zolang er een veilig lijntje over is. Geeft elk lijntje iets weg, dan kiest hij het lijntje dat de minste kamertjes kost. Kamertjes laten liggen doet hij nooit.
• Moeilijk: zolang er veel veilige lijntjes zijn, speelt de computer als op het gemiddelde niveau. Zijn er nog 12 of minder over, dan rekent hij de rest van het potje exact door, binnen ongeveer een halve seconde per zet.

Op het moeilijke niveau telt de computer ketens. Hij kan een of twee kamertjes cadeau doen, zodat de ander de eerste lange keten moet openen. Van een keten laat hij de laatste twee liggen, van een ring de laatste vier, als dat meer oplevert. Twee vakjes naast elkaar geeft hij weg via het lijntje ertussen, zodat de ander dat paar niet kan laten liggen. Op grote borden werkt hij vroeg in het potje met vuistregels.

In de tests van deze site won het moeilijke niveau de meeste potjes van het gemiddelde, op borden van 3 × 3 en 4 × 4 vakjes. Onverslaanbaar is het niet: pas in het eindspel rekent de computer alles exact door. Hoe de site zulke keuzes vastlegt en bronnen naloopt, staat in de werkwijze.

De knop ‘Ongedaan maken’ neemt je laatste lijntje terug, samen met het antwoord van de computer; na het einde van een potje kan dat niet meer. De knop ‘Tip’ tekent het lijntje dat het moeilijke niveau zou kiezen, als blauwe stippellijn.

De computer doet pas iets als het potje begonnen is, met de cryptografische toevalsgetallen van je browser. Je resultaten blijven in de lokale opslag van deze browser. Per niveau en bordgrootte telt het spel de gewonnen, gelijke en verloren potjes en je grootste overwinning, en het onthoudt je laatste 10 potjes. Niets daarvan gaat naar een server, en met ‘Mijn resultaten wissen’ wis je alles.

Samen deel je één telefoon, tablet of computer en geef je het apparaat na je beurt door. Je speelt online in de browser, maar wel samen aan één scherm: een verbinding tussen twee apparaten via internet heeft dit spel niet.

Elke speler kan een naam typen van hoogstens 14 tekens. In een gesloten vakje staat de eerste letter van die naam. Beginnen beide namen met dezelfde letter, dan staan er twee letters, en zijn ook die gelijk, dan de cijfers 1 en 2. Namen bewaart het spel niet, en ze komen ook niet in de link.

Als beginner kies je speler 1, speler 2 of een wissel na elk potje. Met ‘Ongedaan maken’ neem je alleen het laatste lijntje terug. Potjes tussen twee spelers telt het spel niet mee in de resultaten; die lijst geldt alleen voor potjes tegen de computer.

Het adres van de pagina bevat de spelvorm, het niveau, het rooster, wie begint en de regelopties. Wie die link deelt, opent dus dezelfde opzet, maar nooit de namen of de getrokken lijntjes.

Breedte en hoogte kies je los van elkaar, elk van 2 tot 8 vakjes: samen 49 bordgroottes. Op papier tel je vaak puntjes in plaats van vakjes, want een bord van 5 × 5 vakjes heeft 6 × 6 puntjes.

Op het startrooster liggen 60 lijntjes klaar om getrokken te worden, op het kleine leerrooster van 3 × 3 vakjes 24, op het grootste van 8 × 8 vakjes 144. Daniel Allcock van de University of Texas at Austin noemt 5 × 5 vakjes het gangbare bord. Hij wijst er ook op dat een bord met in beide richtingen een oneven aantal vakjes geen gelijkspel toelaat.

Onder ‘Regels en hulp’ zet je twee varianten aan. Met ‘Buitenrand al getekend’ staat de rand van het rooster al getekend voor het eerste lijntje. Vink je ‘Wie een kamertje sluit, trekt nog een lijntje’ uit, dan gaat de beurt na elk lijntje over, ook na een gesloten kamertje. Tijdens een potje liggen de regels vast; ‘Nieuw spel’ maakt ze weer vrij.

Voor pen en papier zet het spel 1, 2, 4 en 6 lege roosters van de gekozen grootte op één vel. Staat de variant met dobbelstenen aan, dan krijgt elk rooster eigen getallen. Rekenen is Top! gebruikt een werkblad met stippen, een rode en een blauwe pen, en in elk gepakt hokje de voorletter van wie het nam. Op ruitjespapier dienen de hoekpunten van de ruitjes als puntjes.

In de rekenvariant staat in elk vakje een getal. Een lijntje mag je alleen trekken bij een vakje met de uitkomst van je worp. Tureluurs Educatie en Mamagisch beschrijven zo'n rekenspel met tafels en sommen. Is er bij die uitkomst geen vrij muurtje meer, dan ben je je beurt kwijt.

In dit spel kies je onder ‘Getallen in de vakjes’ voor optellen of vermenigvuldigen. Bij de start deelt het spel elk vakje een getal uit: de uitkomst van een eigen worp met twee dobbelstenen voor dat vakje. Uitkomsten die vaak vallen, staan daardoor in meer vakjes dan zeldzame.

Voor elk lijntje gooi je twee dobbelstenen, en de computer gooit voor zichzelf. Je mag dan alleen een zijde van een open vakje met die uitkomst trekken; een zijde tussen twee vakjes telt als een van beide die uitkomst toont. Is er geen zo'n zijde vrij, dan geef je met ‘Beurt doorgeven’ de beurt door. Sluit je een kamertje, dan gooi je opnieuw en trek je weer een lijntje.

Bij optellen geven de 36 mogelijke worpen 11 uitkomsten, en 7 valt het vaakst: 6 keer op 36, 16,7%. Vermenigvuldigen maakt er keersommen van uit de tafels van 1 tot en met 6, met 18 uitkomsten. Daarvan vallen 1, 9, 16, 25 en 36 het minst vaak, elk 1 keer op 36.

Elk kamertje telt één punt, welk getal erin staat. Werkbladen voor de klas verschillen: op sommige trek je de ogen van elkaar af, andere gebruiken dobbelstenen tot tien. Deze variant is daarom een eigen versie van deze site. De dobbelstenen gooit je browser met cryptografische toevalsgetallen, net als bij het Sinterklaas dobbelspel.

Omdat de ander dan met één lijntje de vierde kant dichttrekt, het kamertje pakt en ook nog doorspeelt. Een lijntje dat geen enkel vakje de derde zijde geeft, is daarom een veilige zet.

Aan het begin van een potje zijn er veel veilige lijntjes, en die raken vanzelf op. Op een gegeven moment geeft elk lijntje iets weg en moet iemand vakjes openen, eerst losse vakjes of paren, later lange rijen. Vanaf dat moment telt vooral wie als eerste iets moet weggeven.

Met ‘Markeer de lijntjes die een vakje weggeven’ onder ‘Regels en hulp’ toont het spel elk lijntje dat een vakje zijn derde zijde zou geven als rode stippellijn. Het gemiddelde niveau van de computer trekt zo'n lijntje nooit zolang er een veilige zet over is. Het makkelijke niveau doet het wel eens, en daar komen zijn cadeautjes vandaan.

Een keten is een rij aangrenzende vakjes die elk al twee zijden hebben. Eén lijntje erin opent de hele rij, waarna de ander de vakjes een voor een kan sluiten. Mark Woelders onderscheidt in De Econometrist korte ketens en lange ketens. Volgens Julian West, in Championship-Level Play of Dots-and-Boxes, heet een keten van 3 of meer vakjes lang. Van zo'n keten kun je de laatste twee altijd laten liggen.

Sluit een keten zich in een kring, dan is het een ring, en een ring telt minstens 4 vakjes. Laten liggen gaat zo. Je pakt alle vakjes van een keten behalve de laatste twee, of van een ring alle behalve de laatste vier. Bij een keten trek je dan het lijntje aan het uiteinde. De laatste twee hebben nu elk drie zijden en delen één open lijntje. De ander sluit ze daarmee tegelijk, een dubbelkruis (in het Engels double-cross), en moet daarna zelf de volgende keten openen.

Wie dat bij elke lange keten kan herhalen, heeft volgens West de controle over het spel. Zetten waarbij je zo bewust kamertjes weggeeft, noemt De Econometrist opofferzetten. Opofferen kost een paar kamertjes, maar levert telkens de hele volgende keten op.

Een voorbeeld met 6 vakjes: er liggen twee ketens van 3, en wie aan zet is, moet er een openen. De ander pakt één kamertje, laat de laatste twee liggen en krijgt later de hele tweede keten. Dat eindigt op 4 tegen 2. Pakt de ander de eerste keten in één keer helemaal, dan moet die zelf de tweede openen en wordt het 3 tegen 3.

Bij een keten van drie en één los vakje geeft wie aan zet is eerst het losse vakje weg. Dat eindigt op 3 tegen 1; wie eerst de keten opent, verliest. Bij een ring van vier en een keten van drie verliest de speler aan zet het minst door eerst de ring te openen: 3 tegen 4. Deze eindspellen heeft het moeilijke niveau zelf doorgerekend.

Kort samengevat: om de beurt trekt elke speler een lijntje tussen twee buurpuntjes, en wie een vakje sluit, krijgt het en trekt opnieuw. In het begin trekt iedereen veilige lijntjes. Zijn die op, dan moet iemand vakjes weggeven, eerst losse vakjes en paren, daarna de lange ketens en ringen, de een na de ander. Wie aan het eind de meeste kamertjes heeft, wint.

Bij die lange ketens beslist de controle. Wie die heeft, pakt van elke geopende keten alles behalve de laatste twee kamertjes en dwingt de ander zo om de volgende keten te openen. Die twee kamertjes zijn de prijs voor het houden van de controle. Wie de controle krijgt, hangt af van het aantal ketens en het aantal puntjes op het bord, zoals de regel hieronder beschrijft.

Het aantal lange ketens op het bord bepaalt wie de controle krijgt. Thomas Ferguson van de University of California, Los Angeles, formuleert de regel voor een bord van m bij n vakjes. Zijn m en n allebei even, dan wil de eerste speler een oneven aantal lange ketens; in alle andere gevallen een even aantal. Ringen tellen daarbij niet mee.

West geeft dezelfde regel in een andere vorm: de eerste speler wil dat het aantal puntjes plus het aantal lange ketens even is. In De Econometrist staat hij als ‘het aantal puntjes in het veld plus het uiteindelijke aantal ketens’. Het is de regel die het boek The Dots-and-Boxes Game van Elwyn Berlekamp uit 2000 leert.

Op het startrooster van 5 × 5 vakjes liggen 36 puntjes, een even aantal. De eerste speler wil daar een even aantal lange ketens, de tweede een oneven aantal. Op 4 × 4 vakjes, met 25 puntjes, is het andersom: daar wil de eerste speler er een oneven aantal.

Opgelost zijn alleen kleine borden. Joseph Barker en Richard Korf toonden in 2012 aan dat 3 × 3 vakjes bij perfect spel een overwinning oplevert voor de tweede speler. Het verschil is dan 3 kamertjes. Het grootste opgeloste bord, 4 × 5 vakjes, eindigt bij perfect spel gelijk; die berekening duurde 10 dagen op één computer. Voor 5 × 5 vakjes is geen oplossing bekend.

In het Engels heet het spel dots and boxes, puntjes en doosjes. De eerste gedrukte beschrijving is Frans: Édouard Lucas beschreef het in 1883 in Récréations mathématiques, deel II, als ‘le jeu de l'École Polytechnique’.

Volgens Lucas hadden studenten van de École polytechnique het een paar jaar eerder bedacht. Ze speelden op ruitjespapier en zetten een initiaal in elk vierkantje dat ze sloten. Wie een vierkantje sloot, speelde door, en wie als eerste meer dan de helft van de vierkantjes had, won.

Op 5 mei 1889 bracht Lucas het uit als ‘La Pipopipette, nouveau jeu de combinaisons’. Dat was een doos met 36 pennetjes en 60 staafjes, goed voor 25 vierkantjes, opgedragen aan zijn oud-leerlingen. ‘Pipo’ was de bijnaam van de studenten voor Polytechnique. De tekst staat ook in L'Arithmétique amusante uit 1895.

Waarom het spel in het Nederlands kamertje verhuren heet, legt geen van de bronnen van deze pagina uit. Het beeld spreekt wel voor zich: elk lijntje is een muurtje, vier muurtjes vormen een kamertje, en dat kamertje is daarna van jou.

Dezelfde naam gebruiken sommigen ook voor Slitherlink, een logische puzzel met getallen in de vakjes waarin je één gesloten lus tekent. Dat is een puzzel voor één persoon, geen spel tegen een tegenstander.