Kropki i kwadraty

Planszą jest siatka kropek ułożonych w równe rzędy. W każdym ruchu rysuje się jedną kreskę, czyli linię między dwiema sąsiednimi kropkami, w pionie lub w poziomie, nigdy na ukos. Cztery kreski wokół jednej kratki tworzą kwadrat, czyli pole. Kto narysuje jego czwarty bok, zdobywa je i wykonuje dodatkowy ruch, bez względu na to, kto narysował trzy pozostałe boki. Gra kończy się po zamknięciu ostatniego pola.

W Delcie 2/2013 Agata Drewniak opisuje zadanie graczy jako „łączenie kolejno sąsiednich punktów liniami pionowymi lub poziomymi”. Ten, kto zamknie kwadrat, „przejmuje to pole i wykonuje kolejny ruch”, a wygrywa strona, która zamknie więcej kwadratów.

Na ekranie kreskę rysuje stuknięcie lub kliknięcie tuż obok niej, a środek pola niczego nie wybiera. Zamknięte pole dostaje kolor i inicjał strony, która je zdobyła: w grze z komputerem Twoje pola są niebieskie z literą „T”, a pola komputera pomarańczowe z literą „K”. Każde pole to jeden punkt.

Zamknięcie pola nie jest obowiązkowe. Joseph Barker i Richard Korf z Uniwersytetu Kalifornijskiego w Los Angeles piszą wprost, że po zamknięciu pola trzeba narysować następną kreskę. Nie trzeba jednak zamykać pola, które da się zamknąć. Kreska narysowana gdzie indziej to sposób, w jaki odmawia się wzięcia pól.

Gdy jedna strona ma już ponad połowę pól, gra podaje, że wynik jest przesądzony, ale toczy się dalej do zamknięcia ostatniego pola. Na końcu pokazuje, kto wygrał, wynik oraz największą liczbę pól, jaką każda strona zdobyła w jednej turze.

Tak. Szewc i gra w kreski to polskie nazwy tej samej gry, po angielsku nazywanej Dots and Boxes. W serwisach z grami online występuje też pod nazwą kropki i kwadraty.

Biblioteka Publiczna w Piasecznie opisuje szewca w zestawie gier na kawałku kartki. Gra jest tam przeznaczona dla dwóch osób, które kreskami „o długości boku pojedynczej kratki” starają się zamknąć jak najwięcej kratek. Zdobyte kratki można zamalować, a wygrywa strona, która zdobędzie ich więcej. Jak inne gry na kartce, szewc nie potrzebuje niczego poza papierem i czymś do pisania.

Delta, miesięcznik wydawany przez Uniwersytet Warszawski, nazywa tę samą grę „kropki–kreski”. Wszystkie te nazwy opisują jedną zasadę: kreska zamykająca kwadrat daje pole i kolejny ruch.

Twoje kreski i pola są niebieskie, a komputera pomarańczowe. Poziom trudności wybiera się przed grą. Każdy z trzech poziomów to zestaw zasad przyjęty przez tę stronę, a różnią się tym, jak często komputer oddaje pola i jak daleko liczy końcówkę.

• Łatwy: gdy może zamknąć pole, robi to w 75% przypadków. W pozostałych ruchach w 50% przypadków szuka kreski, która niczego nie oddaje, a w innych rysuje dowolną, więc często oddaje pola.
• Średni: zawsze zamyka każde pole, które może zamknąć, i nie rysuje trzeciego boku, dopóki zostaje bezpieczny ruch. Gdy każdy ruch coś oddaje, oddaje najmniej pól. Nigdy nie odmawia wzięcia pól.
• Trudny: gra jak średni, dopóki zostaje wiele bezpiecznych kresek. Gdy zostanie ich 12 lub mniej, przelicza dokładnie resztę gry, w około pół sekundy na ruch. Liczy łańcuchy, potrafi oddać pole lub dwa, żeby zmienić, kto otworzy pierwszy długi łańcuch, i odmawia wzięcia ostatnich pól łańcucha, gdy to się opłaca.

Poziom trudny oddaje też parę pól kreską środkową, tak że tej pary nie da się odmówić. Na dużych planszach na początku gry korzysta z reguł przybliżonych, bo dokładne przeliczenie zajęłoby za dużo czasu. W testach na planszach 3 × 3 i 4 × 4 pola wygrywał z poziomem średnim w większości partii, ale nie gra bezbłędnie od pierwszego ruchu.

Przycisk „Podpowiedź” rysuje niebieską przerywaną kreskę: tę, którą wybrałby poziom trudny. „Cofnij” w grze z komputerem zabiera Twoją ostatnią kreskę razem z odpowiedzią komputera, ale po końcu gry cofnąć się już nie da.

Bilans z komputerem obejmuje wygrane, remisy i przegrane dla każdego poziomu i rozmiaru planszy, najwyższe zwycięstwo oraz 10 ostatnich gier. Zostaje w pamięci lokalnej tej przeglądarki i nigdzie nie jest wysyłany, a przycisk „Wyczyść mój bilans” go usuwa.

W trybie dla dwóch osób telefon przechodzi z rąk do rąk. Obie strony rysują na tej samej planszy, a gra pokazuje, czyj jest ruch i kto właśnie zamknął pole.

Każda osoba może wpisać imię, do 14 znaków. Imiona nie są nigdzie zapisywane i nie trafiają do linku. W polach widać inicjał każdej osoby: jedną literę, dwie, gdy pierwsze litery są takie same, albo cyfry 1 i 2, gdy nadal się zgadzają.

Kto zaczyna, wybiera się w ustawieniach: osoba 1, osoba 2 albo na zmianę, gra po grze. „Cofnij” zabiera tu tylko ostatnią kreskę, a partie dwóch osób nie trafiają do bilansu z komputerem.

Gra zaczyna się na planszy 5 × 5 pól, czyli 6 × 6 kropek, na której trzeba narysować 60 kresek.

Rozmiar planszy wybiera się osobno w poziomie i w pionie, od 2 do 8 pól, co daje 49 układów. Wymiary podaje się tu w polach, a na kartce często liczy się kropki: plansza 4 × 4 kropki z rysunku w Delcie to 3 × 3 pola.

Daniel Allcock z Uniwersytetu Teksasu w Austin wymienia planszę 5 × 5 pól jako typową. Zauważa też, że gdy liczba pól w obu kierunkach jest nieparzysta, remis jest niemożliwy, bo pól jest nieparzyście wiele.

Na papierze wystarczy kartka w kratkę i długopisy w różnych kolorach. Kropkami są wtedy narożniki kratek, a kreski rysuje się po liniach kratki, każdą o długości jednego boku.

Plansza do druku powstaje z panelu „Wydrukuj pustą planszę”: arkusz zawiera siatki wybranego rozmiaru, a ich liczbę wybiera się spośród wartości 1, 2, 4 i 6. Gdy włączony jest wariant z liczbami, każda siatka dostaje nowe liczby.

Trzy opcje w panelu „Zasady i pomoc” zmieniają zasady, a czwarta tylko pomaga. Zasady są zablokowane na czas gry, a zmienić je można dopiero po naciśnięciu „Nowa gra”.

• „Po zamknięciu pola rysuje się kolejną kreskę”: zwykła zasada, włączona od początku. Po jej wyłączeniu ruch przechodzi dalej po każdej kresce, także po zamknięciu pola.
• „Brzeg planszy narysowany od początku”: obwód planszy jest gotowy przed pierwszą kreską, jak w wariancie, w który grają niektórzy.
• „Zaznaczaj kreski, które oddają pole”: każda kreska, która dałaby polu trzeci bok, jest zaznaczona czerwoną przerywaną linią.
• „Liczby w polach”: wariant z kośćmi, opisany poniżej.

Liczby w polach i rzut dwiema kośćmi

Na początku gry każde pole dostaje liczbę: wynik osobnego rzutu dwiema kośćmi dla tego pola. Częste wyniki trafiają więc do większej liczby pól niż rzadkie. Przed każdą kreską rzuca się dwiema kośćmi, a komputer rzuca za siebie. Oczka się dodaje albo mnoży, zależnie od wybranej opcji.

Wolno narysować tylko bok otwartego pola z wyrzuconą liczbą; bok wspólny dla dwóch pól się liczy, jeśli którekolwiek z nich ją pokazuje. Gdy takiego boku nie ma, ruch przechodzi dalej przyciskiem „Oddaj ruch”. Zamknięcie pola daje kolejny rzut i kolejną kreskę, a każde pole jest warte jeden punkt, bez względu na liczbę.

Suma oczek daje 11 wyników, od 2 do 12, a najczęściej wypada 7: w 6 rzutach na 36, czyli w 16,7% przypadków. Iloczyn daje 18 wyników, od 1 do 36. Najczęstsze są 6 i 12, po 4 rzuty na 36, a najrzadsze 1, 9, 16, 25 i 36, każdy tylko w jednym rzucie.

Ten wariant to własna wersja tej strony; odmiany z kośćmi w materiałach do nauki liczenia różnią się od niej, na przykład odejmowaniem oczek albo kośćmi do dziesięciu. Rzut jedną kostką daje każdy wynik równie często, z czego korzysta gra w prezenty z kostką, a przy dwóch kościach częstości wyników są już różne.

Kreska, która daje polu trzeci bok, oddaje je drugiej stronie, bo ta domknie czwarty bok i zagra dalej. Większość osób, jak pisze Agata Drewniak w Delcie, rysuje więc kreski tak, aby nie oddać pola przeciwnikowi, dopóki to możliwe.

Gra ma przez to dwie fazy. W pierwszej obie strony wybierają bezpieczne ruchy, czyli kreski, które nie dają żadnemu polu trzeciego boku. Gdy takich kresek zabraknie, plansza jest podzielona na łańcuchy i pętle. Ten stan to blokada, jak nazywa go Delta: każda kolejna kreska oddaje pola.

Strategia gry w szewca sprowadza się do pytania, kto musi otworzyć pierwszy długi łańcuch. Łańcuch to rząd pól, w którym zamknięcie jednego pola otwiera drogę do następnego. Długi łańcuch ma co najmniej 3 pola, a pętla, czyli łańcuch zamknięty w koło, ma co najmniej 4 pola. Strona, która dostała długi łańcuch, bierze wszystkie jego pola poza dwoma ostatnimi. Zamiast nich rysuje kreskę na drugim końcu łańcucha, więc druga strona zamyka oba pola jedną kreską, ale potem sama musi otworzyć kolejny łańcuch. W pętli zostawia się w ten sam sposób cztery pola. Kto stale tak gra, ma kontrolę nad końcówką, a taka kontrola nad grą zwykle daje wygraną. Każda odmowa kosztuje jednak oddane pola, więc przy krótkich łańcuchach rachunek bywa niekorzystny.

Delta opisuje ten ruch jako postawienie drugiej strony „pod przymusem”: cokolwiek zrobi, otworzy kolejny łańcuch. Według tego samego artykułu przy łańcuchu z trzech pól taka odmowa oddaje większą jego część, a przy czterech daje remis na tym łańcuchu.

Trzy końcówki przeliczone przez poziom trudny

Dwa łańcuchy po 3 pola, razem 6 pól: strona, która musi otworzyć jeden z nich, przegrywa 2:4. Druga strona bierze jedno pole, dwa ostatnie oddaje, a potem zabiera cały drugi łańcuch. Wzięcie od razu wszystkich trzech pól dałoby tylko 3:3.

Łańcuch o długości 3 i pojedyncze pole: strona na ruchu oddaje najpierw pojedyncze pole i kończy 3:1, a otwarcie najpierw łańcucha przegrywa. Pętla o długości 4 i łańcuch o długości 3: otwarcie najpierw pętli kosztuje najmniej i daje porażkę tylko 3:4, a otwarcie łańcucha kończy się wyższą przegraną.

Nie. Barker i Korf obliczyli w 2012 roku, że przy najlepszej grze obu stron plansza 3 × 3 pola daje wygraną strony, która rusza druga, o 3 pola. Plansza 4 × 5 pól kończy się wtedy remisem.

Plansza 4 × 5 pól to największa rozwiązana: obliczenie trwało 10 dni na jednym komputerze. Plansza 5 × 5 pól nie jest rozwiązana, więc jej wynik przy bezbłędnej grze pozostaje nieznany.

Przy dłuższych partiach wynik pozwala przewidzieć reguła długich łańcuchów, której uczy książka „The Dots-and-Boxes Game” (2000), której autorem jest Elwyn Berlekamp. Thomas Ferguson z Uniwersytetu Kalifornijskiego w Los Angeles podaje ją dla planszy m × n pól. Gdy m i n są parzyste, strona zaczynająca dąży do nieparzystej liczby długich łańcuchów, a w przeciwnym razie do parzystej. Pętle się nie liczą.

Julian West w pracy dla Mathematical Sciences Research Institute podaje równoważną postać: strona zaczynająca chce, by liczba kropek plus liczba długich łańcuchów była parzysta. Plansza 5 × 5 pól ma 36 kropek, więc strona zaczynająca dąży tu do parzystej liczby długich łańcuchów, a druga do nieparzystej.

Strategia wygrywająca to sposób gry, który daje wygraną bez względu na ruchy przeciwnika. Joanna Jaszuńska pokazuje w Delcie 7/2010, jak ją znaleźć w prostszych grach: pozycje oznacza się jako wygrywające lub przegrywające, od ostatniego ruchu wstecz. Na dużej planszy takie przeliczenie od pierwszej kreski trwa zbyt długo, dlatego poziom trudny liczy dokładnie dopiero końcówkę.

Pierwszy drukowany opis gry pochodzi z 1883 roku. Édouard Lucas zamieścił go w drugim tomie „Récréations mathématiques” jako „le jeu de l'École Polytechnique”, grę wymyśloną kilka lat wcześniej przez studentów École polytechnique.

Według Lucasa grano na papierze w kratkę, a zamknięty kwadrat oznaczano inicjałem. Kto zamknął kwadrat, grał dalej, a wygrywała osoba, która pierwsza zdobyła ponad połowę kwadratów.

Jako „La Pipopipette, nouveau jeu de combinaisons” Lucas opublikował grę 5 maja 1889 roku. Była to gra w pudełku, z 36 kołkami i 60 poprzeczkami, w której mieści się 25 kwadratów, zadedykowana dawnym uczniom. „Pipo” to studencka nazwa École polytechnique, a tekst przedrukowano w 1895 roku w „L'Arithmétique amusante”, w nocie III.