Binärrätsel online

Ein Binärrätsel ist ein Logikrätsel auf einem Gitter aus Feldern. Einige Felder tragen schon eine Ziffer, die Vorgabe; alle anderen sind leer und bekommen eine 0 oder eine 1. Jedes Feld gehört zugleich zu einer Zeile und zu einer Spalte. Darum schränken die Regeln jedes Feld von zwei Seiten ein, und aus diesen Einschränkungen folgt Feld für Feld die einzige Lösung.

Für jedes Gitter gelten dieselben drei Bedingungen, ganz gleich, ob Ziffern, Buchstaben oder Farben darin stehen.

1. Regel 1: Nie mehr als zwei gleiche Ziffern nebeneinander, weder waagerecht noch senkrecht. 0 0 1 ist erlaubt, 0 0 0 nicht.
2. Regel 2: Jede Zeile und jede Spalte enthält gleich viele Nullen und Einsen, also von beiden genau die Hälfte ihrer Felder.
3. Regel 3: Keine zwei Zeilen sind gleich, und keine zwei Spalten. Eine Zeile darf aber einer Spalte gleichen.

Der Vergleich mit Drei gewinnt liegt nahe, nur umgekehrt: Dort ist die Dreierreihe das Ziel, hier ist sie verboten. Diagonalen zählen nicht. In der Anleitung zum Rätselgitter von Küng Rätsel heißt es: „Es dürfen nicht mehr als zwei aufeinanderfolgende X oder O in einer Zeile oder Spalte vorkommen.“

Die Seitenlänge ist immer gerade, denn eine Zeile aus ungerade vielen Feldern kann nicht gleich viele Nullen und Einsen halten. PeterFrank aus Belgien veröffentlicht auch ungerade Gitter, etwa 13 × 13 mit 6 Nullen und 7 Einsen je Zeile. Diese Spielart bietet das Spiel hier nicht an.

Ein Antippen füllt ein leeres Feld mit 0, das zweite macht daraus eine 1, das dritte leert es wieder. Mit der Tastatur wechseln die Pfeiltasten das Feld, 0 oder O und 1 oder X füllen es, die Rücktaste oder Entf leert es. Pos1 und Ende springen an den Anfang und das Ende der Zeile. Vorgegebene Ziffern lassen sich nicht ändern.

Unter „Zeichen und Markierungen“ stehen drei Zeichensätze zur Wahl: 0 und 1, O und X oder Blau und Gelb. Bei den Farben tragen vorgegebene Felder einen weißen Punkt. Die Option „Regelverstöße beim Spielen markieren“ ist zu Beginn eingeschaltet. Sie umrandet drei Gleiche in Folge, eine Zeile mit zu vielen Feldern eines Zeichens und zwei gleiche volle Zeilen.

Mit fünf Techniken, von der einfachsten zur schwersten, und ohne Raten. Zuerst kommen Muster, die sich auf einen Blick zeigen: zwei gleiche Ziffern nebeneinander, eine Lücke zwischen zwei gleichen und eine Zeile, die eine Ziffer schon zur Hälfte enthält. Reicht das nicht, wird eine ganze Zeile durchgespielt, am einfachsten eine fast volle. Ganz zuletzt hilft der Vergleich mit einer fertigen Zeile, weil keine zwei Zeilen gleich sein dürfen.

Jede Technik füllt nur Felder, die aus den Regeln zwingend folgen. Eine neue Ziffer wirkt sofort in der Querrichtung weiter: Sie kann in ihrer Spalte das nächste Paar oder die nächste Lücke bilden, und so entsteht eine Kette. Wer nur sichere Felder einträgt, muss nie etwas zurücknehmen, und am Ende steht die eine Lösung, die alle drei Regeln erfüllt.

• Paar: Folgen zwei gleiche Ziffern direkt aufeinander, bekommen die Felder an beiden Enden die andere.
• Lücke: Ein leeres Feld zwischen zwei gleichen Ziffern bekommt die andere, sonst stünden drei gleiche in Folge.
• Zählen: Enthält eine Zeile eine Ziffer schon zur Hälfte, bekommen alle ihre leeren Felder die andere.
• Fast volle Zeile: Alle erlaubten Verteilungen der fehlenden Ziffern einer Zeile werden durchgespielt, was bei wenigen leeren Feldern schnell geht. Ein Feld, das in jeder Verteilung gleich ausfällt, steht fest.
• Reihen vergleichen: Würde eine Ziffer eine Zeile einer schon fertigen Zeile gleich machen, kommt nur die andere in Frage. Dasselbe gilt für Spalten.

„Tipp“ zeigt den leichtesten Schritt, der gerade möglich ist, und „Eintragen“ trägt ihn ein. Der Tipp umrandet die Felder, auf denen der Schritt beruht, und hebt die Felder hervor, die er füllt. Passt ein schon gefülltes Feld nicht zur Lösung, markiert er stattdessen dieses Feld. Zu jedem Schritt gehört ein erklärender Satz, etwa „Zeile 2: Zwei Felder mit 0 stehen nebeneinander, darum bekommen die Felder an beiden Enden 1.“

„Prüfen“ markiert 4 Sekunden lang jedes gefüllte Feld, das nicht zur Lösung passt. „Rückgängig“ und „Wiederholen“ gehen Eingaben zurück und wieder vor. „Neu beginnen“ leert nach zweimaligem Antippen alle eingetragenen Felder und die Uhr, schon genutzte Tipps und Prüfungen zählen aber weiter. „Lösung zeigen“ füllt nach zweimaligem Antippen das ganze Gitter.

Das Beispiel ist ein leichtes Rätsel aus 6 × 6 Feldern, von denen 9 eine Ziffer vorgeben und 27 leer sind. Die Zeilen sind links nummeriert, die Spalten oben.

Die Tipps des Spiels lösen das Gitter in einer festen Reihenfolge. Hier stehen die ersten vier Schritte, dazu die Schritte 6 und 12, in denen zum ersten Mal eine neue Technik greift.

• Schritt 1, Paar: In Zeile 2 stehen in Spalte 1 und 2 zwei Nullen nebeneinander, darum bekommt das einzige freie Nachbarfeld in Spalte 3 eine Eins.
• Schritt 2, Paar: In Spalte 2 stehen in Zeile 2 und 3 zwei Nullen untereinander, deshalb erhalten die Felder darüber und darunter, in Zeile 1 und 4, je eine Eins.
• Schritt 3, Paar: In Spalte 4 stehen in Zeile 3 und 4 zwei Nullen untereinander, deshalb erhalten die Felder darüber und darunter, in Zeile 2 und 5, je eine Eins.
• Schritt 4, Paar: In Zeile 2 stehen in Spalte 3 und 4 zwei Einsen nebeneinander, darum bekommt das einzige freie Nachbarfeld in Spalte 5 eine Null. Die Ziffern dafür stammen aus den Schritten 1 und 3.
• Schritt 6, Lücke: In Zeile 3 liegt das leere Feld in Spalte 3 zwischen zwei Nullen. Es bekommt eine Eins, sonst stünden drei Nullen in Folge.
• Schritt 12, Zählen: Zeile 2 enthält in Spalte 1, 2 und 5 schon 3 Nullen, die Hälfte ihrer 6 Felder. Das letzte leere Feld in Spalte 6 bekommt deshalb eine Eins. Eine dieser Ziffern stammt aus Schritt 4.

Insgesamt braucht das Gitter 23 Schritte, alle mit den drei Techniken der Stufe Leicht. Jede Zeile und jede Spalte der Lösung enthält 3 Nullen und 3 Einsen, und keine zwei Zeilen gleichen sich. Zeile 2 stimmt allerdings mit Spalte 5 überein, was Regel 3 erlaubt.

Die Schwierigkeitsstufe eines Rätsels richtet sich nach dem schwersten Schritt, den es verlangt, nicht nach der Zahl seiner Vorgaben. Ein großes leichtes Gitter braucht also mehr Schritte, aber keine schwereren.

• Leicht: Paar, Lücke und Zählen.
• Mittel: dazu die fast volle Zeile, also das Durchspielen aller Verteilungen in einer Zeile.
• Schwer: zusätzlich Reihen vergleichen nach Regel 3.

Jedes Rätsel, das das Spiel erzeugt, hat eine eindeutige Lösung und lässt sich allein mit den Schritten seiner Stufe beenden. Getestet wurde das für jede Größe und jede Stufe. Beim Erzeugen nimmt das Spiel vorgegebene Ziffern einzeln weg, solange die Schritte der Stufe das Gitter noch füllen. Darum ist auf dieser Stufe keine Vorgabe überflüssig.

Vermutung und Konflikt heißt eine Technik, die probeweise eine Ziffer setzt und nach einem Widerspruch sucht. Kein Rätsel aus diesem Spiel braucht sie. Erst der Löser für eingetippte Gitter meldet, wenn ein Rätsel ohne Probieren nicht aufgeht.

Die Größen reichen von 6 × 6 bis 14 × 14, nur mit geraden Seiten. Voreingestellt sind 8 × 8 und die Stufe Leicht. Ein Gitter mit 14 × 14 hat 196 Felder, und jede seiner Zeilen enthält 7 Nullen und 7 Einsen.

Für 6 × 6 sind es 4.140 volle Gitter, die alle drei Regeln einhalten, für 8 × 8 schon 4.111.116. Die Zahl wächst schnell, denn jede größere Seite erlaubt mehr gültige Zeilen, aus denen sich ein Gitter zusammensetzt.

Eine Zeile aus 6 Feldern lässt sich auf 64 Arten mit Nullen und Einsen füllen. Nur 14 davon halten für sich die ersten beiden Regeln ein. Ein Gitter aus 6 × 6 Feldern wählt seine Zeilen aus diesen 14, und wegen der dritten Regel keine zweimal.

Die Online-Enzyklopädie der Zahlenfolgen OEIS führt die gültigen Zeilen als Folge A177790 und die vollen Gitter als Folge A253316. Für 14 × 14 gibt es dort noch keine Zahl. Die Zahl für 8 × 8 wurde für dieses Spiel durch eine Suche nachgezählt. Vier dieser Werte prüft die Seite gegen bekannte Antworten.

Marzio De Biasi hat 2012 bewiesen, dass die Frage, ob sich ein teilweise gefülltes Gitter regelgerecht vervollständigen lässt, NP-vollständig ist. Für beliebige Gitter ist damit kein schnelles allgemeines Verfahren bekannt. Die Rätsel dieses Spiels macht das nicht schwer, denn jedes geht mit den Schritten seiner Stufe auf.

Jeden Tag gibt es je Größe ein neues Rätsel des Tages, für alle gleich und in jeder Sprachfassung dieser Seite. Es hat die Stufe Mittel und eine laufende Nummer; Nummer 1 gehört zum 2. November 2026. Maßgeblich ist das Datum auf dem eigenen Gerät, ein neuer Satz beginnt also um Mitternacht Ortszeit.

Unter „Neues Rätsel“ lassen sich Größe und Stufe frei wählen, „Rätsel erstellen“ erzeugt dann ein Rätsel. Seine Nummer steht im Link, ein geteilter Link öffnet also dasselbe Gitter. „Anderes Rätsel“ erzeugt ein weiteres.

Die Uhr startet mit dem ersten gefüllten Feld. Sie hält bei „Pause“ an, wobei das Gitter verdeckt wird, und ebenso, solange der Browser-Tab im Hintergrund liegt. Unter dem Gitter stehen die Zeit, die leeren Felder und die Zahl der Tipps und Prüfungen.

Ist das Rätsel gelöst, zeigt das Spiel die Zeit und die genutzte Hilfe, und „Ergebnis kopieren“ kopiert eine Textzeile samt Link. Als Bestzeit zählt eine Lösung nur ohne Tipp, ohne Prüfung und ohne angezeigte Lösung, getrennt nach Größe und Stufe. Die Ergebnisse der Rätsel des Tages bleiben 60 Tage lang gespeichert. Ein angefangenes Rätsel läuft nach dem Neuladen mit Feldern, Zeit und Hilfe weiter.

Unter „Gitter lösen“ lässt sich ein Rätsel aus der Zeitung oder einem Rätselheft eintippen und Schritt für Schritt lösen. Breite und Höhe werden getrennt gewählt, jeweils gerade von 4 bis 16 Feldern. Veröffentlichte Rätsel sind nämlich nicht immer quadratisch, und manche haben 16 × 16 Felder.

Nach dem Eintippen der vorgegebenen Ziffern führen drei Schaltflächen weiter.

• „Nächster Schritt“ zeigt den leichtesten möglichen Schritt samt „Eintragen“, oder die Meldung, dass an dieser Stelle aus den Regeln allein kein Feld folgt.
• „Gitter prüfen“ meldet, ob das Gitter keine, genau eine oder mehrere Lösungen hat. Ohne Lösung ist eine eingetippte Ziffer falsch. Bei genau einer sagt der Löser auch, ob Logik bis zum Ende reicht oder Probieren nötig ist.
• „Lösung zeigen“ trägt die Lösung ein, bei mehreren Lösungen eine davon. „Gitter leeren“ leert nach zweimaligem Antippen das Gitter.

Ohne das Häkchen bei „Keine zwei Zeilen oder Spalten gleich (Regel 3)“ rechnet der Löser ohne diese Regel, für Rätsel, die sie weglassen. Die Regeln, die der Berliner Kurier zu seinem täglichen Zahlenrätsel mit 0 und 1 abdruckt, nennen sie nicht. In Simon Tathams Portable Puzzle Collection heißt die Spielart Unruly, beigesteuert von Lennard Sprong. Sie spielt mit schwarzen und weißen Feldern, und die dritte Regel ist dort eine Option, die zu Beginn ausgeschaltet ist.

Das eingetippte Gitter steht im Link hinter dem Zeichen #. Diesen Teil einer Adresse senden Browser nie an einen Server, und doch lässt sich das Gitter so als Link weitergeben.

Jedes Rätsel des Spiels lässt sich mit seiner Lösung ausdrucken, und auf Wunsch druckt das Spiel einen Satz neuer Rätsel. „Dieses Rätsel mit Lösung drucken“ bringt das aktuelle Gitter aufs Papier. Alternativ druckt das Spiel 2, 4 oder 6 neue Rätsel in der eingestellten Größe und Stufe.

Die Rätsel stehen immer zuerst, die Lösungen folgen auf eigenen Seiten, sodass beim Lösen keine Antwort im Blick ist. Rätsel mit Blau und Gelb erscheinen auf dem Papier als Ziffern. Jedes gedruckte Rätsel ist eines aus dem Spiel und hat daher ebenfalls genau eine Lösung.

Binärrätsel ist ein beschreibender Name: Das Rätsel kennt nur zwei Zeichen, so wie das Binärsystem nur die Ziffern 0 und 1. Im Mathematikzirkel des Hamburger Bildungsservers heißt dieses Zahlensystem auch Dualsystem oder Zweiersystem.

Verlage führen das Rätsel unter eigenen Namen, in der Schweiz etwa Küng Rätsel von Keesing Schweiz als Binoxxo mit X und O. Takuzu und Binairo sind laut Markenregister des EUIPO, des Amts der Europäischen Union für geistiges Eigentum, eingetragene Marken. Takuzu gehört Réalisations-Conceptions-Idées-Jeux (Nr. 011842028, verlängert bis 24. Mai 2033), Binairo Peter De Schepper und Frank Coussement (Nr. 008217754, bis 15. April 2029). Dieses Spiel ist mit keinem der genannten Verlage oder Inhaber verbunden.

Nach eigener Angabe veröffentlichte PeterFrank aus Belgien sein erstes Rätsel dieser Art im Sommer 2009, in der größten Zeitung Belgiens. Der Rätselanbieter Conceptis schreibt die Idee dem italienischen Rätselautor Adolfo Zanellati zu, unter dem Namen Tohu wa Vohu. PeterFrank habe zur selben Zeit ein ähnliches Rätsel erfunden; eine Jahreszahl nennt Conceptis nicht.

Als Handyspiel veröffentlichte das niederländische Studio Q42 das Rätsel unter dem Namen 0h h1, entworfen von Martin Kool, mit roten und blauen Kacheln. Version 1.0 erschien am 12. November 2014 im App Store.

Wie Sudoku gehört das Binärrätsel zu den Logikrätseln: Jede Ziffer folgt aus Regeln, nicht aus Wissen oder Glück. Ebenfalls ohne Glück kommen die Türme von Hanoi aus, ein Denkspiel mit Scheiben und Stäben. Das Papierspiel Käsekästchen läuft hier gegen den Computer oder zu zweit an einem Handy.