Łamigłówka zera i jedynki

Zasady są trzy i obowiązują w każdym wierszu oraz w każdej kolumnie. Według Wydawnictwa Logi wiersz i kolumna muszą zawierać tyle samo zer co jedynek i nie mogą mieć więcej niż dwóch zer ani dwóch jedynek pod rząd. Do tego żaden cały wiersz ani cała kolumna nie może wystąpić więcej niż raz. Z tych warunków i cyfr wpisanych na starcie wynika wartość każdego pustego pola.

Diagram to kwadratowa siatka pól, a każde puste pole wypełnia się w nim zerem albo jedynką. Pierwsza zasada dotyczy sąsiadów. Arkusz zasad Memoriału Urszuli Marciniak, opublikowany przez Wydział Matematyki i Informatyki UAM w Poznaniu, mówi, że więcej niż dwa jednakowe znaki nie mogą stać koło siebie. Dwa zera obok siebie są więc dozwolone, trzy już nie. Sąsiedztwo liczy się tylko w poziomie i w pionie, a przekątne nie mają znaczenia.

Druga zasada dzieli każdą linię po równo. W wierszu z 6 pól stoją więc 3 zera i 3 jedynki, a w rozmiarze 14 × 14 po 7 z każdej cyfry.

Trzecia zasada porównuje całe linie: żaden wiersz nie powtarza innego wiersza, a żadna kolumna innej kolumny. Wiersz może za to wyglądać tak samo jak któraś kolumna, bo zasada nie zestawia wierszy z kolumnami. Ta zasada naprawdę zawęża wybór. Putranto Utomo i Ruud Pellikaan z Politechniki w Eindhoven podają przykład 8 × 8, który z nią ma 1 rozwiązanie, a bez niej 3 rozwiązania.

Opcja „Zaznaczaj złamane zasady w trakcie gry”, włączona od początku, obrysowuje błędy na bieżąco. Zaznacza trzy jednakowe znaki pod rząd, linię z nadmiarem jednej cyfry oraz powtarzające się wiersze lub kolumny, gdy są już pełne.

Rozwiązywanie zaczyna się od miejsc, w których dwie jednakowe cyfry stoją tuż obok siebie albo w odstępie jednego pola. Każdy krok wynika wprost z zasad, więc żadnej cyfry nie trzeba wpisywać na próbę.

Zera i jedynki rozwiązuje się, wpisując tylko to, co wynika z zasad. Para to dwie takie same cyfry obok siebie: pola na obu jej końcach muszą mieć drugą cyfrę, bo inaczej powstałyby trzy pod rząd. Luka to puste pole między dwiema takimi samymi cyframi; z tego samego powodu dostaje ono drugą cyfrę. Liczenie działa, gdy linia ma już połowę pól z jedną cyfrą: wszystkie pozostałe pola dostają wtedy drugą.

Trudniejsze łamigłówki wymagają spojrzenia na całą linię. Jeśli każdy zgodny z zasadami sposób dokończenia wiersza daje jakiemuś polu tę samą cyfrę, można ją wpisać. Najtrudniejszy krok to porównanie wierszy według trzeciej zasady: cyfra jest pewna, gdy druga sprawiłaby, że wiersz powtórzy inny, już pełny wiersz. Te kroki wystarczają, by dokończyć każdą łamigłówkę z tej gry bez zgadywania.

Przycisk „Podpowiedź” pokazuje najłatwiejszy krok, jaki w danej chwili wynika z zasad. Obrysowuje pola, na których się opiera, podświetla pola do wypełnienia, opisuje krok jednym zdaniem i proponuje przycisk „Wpisz”. Jeśli któreś wypełnione pole nie zgadza się z rozwiązaniem, podpowiedź najpierw zaznacza właśnie to pole.

Przycisk „Sprawdź” zaznacza na 4 sekundy wszystkie wypełnione pola niezgodne z rozwiązaniem. Każda podpowiedź i każde sprawdzenie trafiają do liczników pod planszą.

Przykładowa łamigłówka ma rozmiar 6 × 6, poziom łatwy i 9 cyfr na starcie, więc do uzupełnienia zostaje 27 pól. Numery wierszy stoją po lewej, a numery kolumn u góry.

Podpowiedzi gry prowadzą przez tę łamigłówkę w następującej kolejności.

1. W wierszu 2 dwa zera stoją obok siebie w kolumnach 1 i 2, więc pole w kolumnie 3 dostaje jedynkę.
2. W kolumnie 2 dwa zera leżą tuż przy sobie, w wierszach 2 i 3, dlatego pola w wierszach 1 i 4 dostają jedynki.
3. Para zer w kolumnie 4, w wierszach 3 i 4, sprawia, że pola w wierszach 2 i 5 dostają jedynki.
4. W wierszu 2 sąsiadują dwie jedynki w kolumnach 3 i 4, zatem pole w kolumnie 5 dostaje zero.

Krok 4 jako pierwszy opiera się na cyfrach wpisanych wcześniej, a nie tylko na startowych, więc każdy nowy znak może otworzyć kolejny krok. Pierwsza luka pojawia się w kroku 6. W wierszu 3 puste pole w kolumnie 3 leży między dwoma zerami w kolumnach 2 i 4, więc dostaje jedynkę.

Pierwsze liczenie przychodzi w kroku 12. Wiersz 2 ma już komplet: 3 zera w kolumnach 1, 2 i 5. Dlatego pole w kolumnie 6 dostaje jedynkę. Cała łamigłówka wymaga tylu podpowiedzi: 23, w tym 11 par, 5 luk i 7 liczeń.

W gotowym rozwiązaniu każda linia ma po 3 zera i 3 jedynki, nigdzie nie ma trzech jednakowych znaków pod rząd, a żadne dwa wiersze ani kolumny się nie powtarzają.

Poziom trudności zależy od najtrudniejszego kroku, jakiego wymaga łamigłówka, a nie od liczby pustych pól. Każdy kolejny poziom dokłada nowy sposób rozumowania.

• Poziom łatwy: para, luka i liczenie.
• Poziom średni: dochodzi sprawdzenie całej linii.
• Poziom trudny: dochodzi porównanie wierszy.

Każda łamigłówka z gry ma dokładnie jedno rozwiązanie, do którego prowadzą same kroki jej poziomu; sprawdzono to dla wszystkich rozmiarów i poziomów. Generator usuwa cyfry startowe po jednej, dopóki te kroki wciąż kończą łamigłówkę. Dlatego na danym poziomie żadnej wydrukowanej cyfry nie da się już pominąć.

Zasady mocno ograniczają możliwe układy. W wierszu z 6 pól przechodzi przez nie tylko 14 z 64 możliwych ciągów zer i jedynek, a pełnych układów 6 × 6 zgodnych z trzema zasadami jest 4140. Liczby dla każdego rozmiaru zebrano poniżej.

Liczby wierszy pochodzą z ciągu A177790, a liczby pełnych układów z ciągu A253316 w encyklopedii ciągów OEIS. Dla rozmiaru 14 × 14 opublikowanej liczby pełnych układów jeszcze nie ma. Wynik dla 8 × 8, czyli 4 111 116, przeliczono na potrzeby tej gry także własnym przeszukiwaniem. Porównanie ze znanymi odpowiedziami zestawia wartości z OEIS z tym, co liczy gra.

Marzio De Biasi wykazał w 2012 roku, że pytanie, czy częściowo wypełniony diagram da się dokończyć zgodnie z zasadami, jest NP-zupełne. Oznacza to, że nie jest znana żadna szybka metoda ogólna dla dowolnie dużych plansz. Nie czyni to trudnymi łamigłówek z tej gry, bo każdą z nich kończą opisane wyżej kroki.

Codziennie zakładka „Łamigłówka dnia” daje po jednej łamigłówce w każdym rozmiarze, takiej samej dla wszystkich i w każdym języku strony. Dzienne łamigłówki mają poziom średni, a ich numeracja zaczyna się 2 listopada 2026 roku. Dzień liczy się według daty na urządzeniu, więc nowy zestaw pojawia się o północy czasu lokalnego.

W zakładce „Nowa łamigłówka” wybiera się rozmiar i poziom, a przycisk „Utwórz łamigłówkę” tworzy nową planszę; na start ustawione są 8 × 8 i poziom łatwy. Numer łamigłówki trafia do linku, więc wysłany komuś link otwiera tę samą planszę.

Kolejne stuknięcia wpisują w pole zero, potem jedynkę, a trzecie znów je opróżnia. Na klawiaturze strzałki przechodzą między polami, a klawisze 0 lub O oraz 1 lub X wpisują cyfrę. Backspace albo Delete ją usuwa, a Home i End przeskakują na początek i koniec wiersza. Cyfr wpisanych na starcie nie da się zmienić. W opcjach zamiast zer i jedynek można wybrać O i X albo dwa kolory, niebieski i bursztynowy; pola startowe mają wtedy białą kropkę.

Zegar rusza z pierwszym wypełnionym polem. Staje po wciśnięciu przycisku „Pauza”, który zasłania planszę, albo gdy karta przeglądarki jest ukryta. Obok zegara widać liczbę pustych pól, podpowiedzi i sprawdzeń. „Cofnij” i „Ponów” cofają i przywracają ruchy. „Od nowa” po drugim stuknięciu czyści wypełnione pola i zegar, a wykorzystana pomoc nadal się liczy.

Najlepszy czas zapisuje się osobno dla każdego rozmiaru i poziomu, ale tylko po rozwiązaniu bez podpowiedzi, sprawdzenia i pokazania rozwiązania. „Pokaż rozwiązanie” po drugim stuknięciu wypełnia wszystkie pola i wyłącza tę łamigłówkę z rekordów, a „Inna łamigłówka” tworzy następną. Po rozwiązaniu gra podaje czas i użytą pomoc, a „Kopiuj wynik” kopiuje wynik w jednej linijce razem z linkiem.

Rozwiązane łamigłówki dnia gra pamięta przez 60 dni. Rozpoczęta łamigłówka zostaje zachowana razem z czasem i pomocą, więc po odświeżeniu strony gra toczy się dalej. Wszystko to leży w pamięci lokalnej przeglądarki pod kluczem „binary-puzzle” i nigdzie nie jest wysyłane, a przycisk „Wyczyść moje wyniki” usuwa zapis.

Zakładka „Rozwiąż diagram” przyjmuje cyfry przepisane z gazety lub książki. Szerokość i wysokość diagramu wybiera się w niej osobno, w parzystych wartościach od 4 do 16 pól, bo nie każdy opublikowany diagram jest kwadratowy, a niektóre są większe.

Po przepisaniu cyfr przycisk „Następny krok” pokazuje najłatwiejszy krok razem z przyciskiem „Wpisz”. Gdy żaden krok nie wynika z zasad, gra mówi to wprost. „Sprawdź diagram” ocenia, czy diagram nie ma rozwiązania, bo któraś cyfra jest błędna, czy ma dokładnie jedno, czy więcej niż jedno rozwiązanie. Przy jednym rozwiązaniu dodaje, czy wystarczy sama logika, czy potrzebne są próby i błędy.

„Pokaż rozwiązanie” wpisuje rozwiązanie, a gdy jest ich kilka, jedno z nich. „Wyczyść diagram” działa dopiero za drugim stuknięciem i czyści cały diagram. Przepisane cyfry zapisują się w linku po znaku #, czyli w tej części adresu, której przeglądarka nigdy nie wysyła do serwera.

Pole wyboru przy trzeciej zasadzie wyłącza ją dla diagramów, które jej nie stosują. Simon Tatham opisuje w podręczniku swojej kolekcji łamigłówek wersję Unruly, dodaną do kolekcji przez Lennarda Spronga, z czarnymi i białymi polami; zakaz powtórzonych wierszy jest tam opcją, domyślnie wyłączoną.

Nieparzysty rozmiar to osobna odmiana. Wydawnictwo Logi drukuje także diagramy, w których każda linia ma o jedno zero lub o jedną jedynkę więcej. Linia o nieparzystej liczbie pól nie może zawierać tyle samo obu cyfr, dlatego ani gra, ani zakładka do rozwiązywania nie przyjmują takich rozmiarów.

Wydruk obejmuje bieżącą łamigłówkę z rozwiązaniem albo zestaw 2, 4 lub 6 nowych łamigłówek w bieżącym rozmiarze i na bieżącym poziomie. Liczbę nowych łamigłówek wybiera się w polu „Ile sztuk”.

Najpierw drukują się same zadania, a rozwiązania trafiają na osobne strony za nimi. Kartki z zadaniami można więc rozdać bez odpowiedzi i sprawdzić je później. Kolory, jeśli wybrano je w opcjach, drukują się jako cyfry.

Opcja „Drukuj tę łamigłówkę z rozwiązaniem” drukuje to, co widać na ekranie, także dzisiejszą łamigłówkę. Nowe łamigłówki z zestawu powstają w chwili drukowania, każda z jednym rozwiązaniem, a cały wydruk tworzy się w przeglądarce, bez zakładania konta.

W Polsce łamigłówka nosi nazwę zera i jedynki. Tak nazywa ją Wydawnictwo Logi i tak występuje w Memoriale Urszuli Marciniak, konkursie, którego zasady publikuje Wydział Matematyki i Informatyki UAM w Poznaniu.

Za granicą ta sama łamigłówka ukazuje się pod innymi nazwami. Według rejestru EUIPO Takuzu to unijny znak towarowy nr 011842028 firmy Réalisations-Conceptions-Idées-Jeux, chroniony do 24 maja 2033 roku. Binairo to znak nr 008217754, należący do Petera De Scheppera i Franka Coussementa i chroniony do 15 kwietnia 2029 roku. Obie nazwy należą do swoich właścicieli, a ta gra nie jest z nimi powiązana.

Belgijska firma PeterFrank podaje, że swoją pierwszą taką łamigłówkę opublikowała latem 2009 roku w „największej gazecie Belgii”, nie wymieniając jej tytułu. Według firmy Conceptis pomysł pochodzi od Adolfa Zanellatiego, włoskiego autora łamigłówek, który wymyślił ją jako Tohu wa Vohu. Ta sama firma podaje, że PeterFrank wymyślił podobną łamigłówkę w tym samym czasie.

Na telefony powstała też 0h h1, niewielka gra logiczna holenderskiego studia Q42, stworzona przez Martina Koola, z czerwonymi i niebieskimi kafelkami. Jej pierwsza wersja trafiła do App Store 12 listopada 2014 roku.

Cyfry 0 i 1 przywodzą na myśl system dwójkowy, czyli system binarny. Nowa podstawa programowa dla szkoły podstawowej, ogłoszona w Dzienniku Ustaw, jest wprowadzana stopniowo. W informatyce dla klas VII i VIII wymienia przedstawianie sposobów reprezentowania w komputerze wartości logicznych i liczb naturalnych, z dopiskiem „system binarny”. Sama łamigłówka nie należy do podstawy i nie wymaga arytmetyki: zera i jedynki są w niej tylko dwoma symbolami.

Inne gry logiczne w serwisie to wieże Hanoi, w których krążki przekłada się między słupkami według stałych zasad. Są też kropki i kwadraty, czyli gra na kartce w kratkę dla dwóch osób, przeniesiona na ekran.